Статья посвящена юбилею Александра Васильевича Михалёва, признанного специали- ста в области математики и информатики. Он внес значительный вклад в развитие со- ветской и российской науки, создал одну из крупнейших научных математических школ. Более ста его учеников стали кандидатами и докторами физико-математических наук, активно работают в системе высшего образования, проводят научные исследования, зани- мают высокие административные должности. Александр Васильевич опубликовал около 500 работ, среди которых научные и обзор- ные статьи, монографии, учебники и учебные пособия, перевел на русский язык несколько фундаментальных научных монографий. В статье дана краткая характеристика его круп- ных научных достижений, представлен список избранных публикаций.
Чебышевский сборник
2021. — Выпуск 1 (77)
Содержание:
Статья посвящена 70-летнему юбилею Алексея Львовича Семенова, видного российско- го математика и деятеля российского образования. В статье приведены биографические сведения и дан обзор профессиональной деятельности академика РАН и РАО А. Л. Семе- нова – как в области математики и теоретической информатики, так и в других важных областях деятельности А. Л. Семенова: поддержки и развития школьного математическо- го образования, исследования проблем цифровой трансформации образования, обновления содержания образования в начальной и средней школе, а также профессионального педа- гогического образования.
Ключевые слова
Рассмотрена задача реконструкции слов из конечного алфавита по частичной информа- ции при дополнительных ограничениях на допустимые слова. А именно, ставится задача о восстановлении периодического слова по мультимножеству его подслов одной длины. Для некоторых видов частичной информации и ограничений получены условия однозначной реконструкции. Показано, что периодическое слово с периодом � однозначно определя- ется мультимножеством его подпоследовательностей длины � ≥ ⌊︀ 16 7 √ � ⌋︀ + 5. Для слова, состоящего из непериодического префикса длины � и периодического суффикса с перио- дом �, повторяющегося � раз, получена аналогичная оценка � ≥ ⌊︁ 16 7 √ � ⌋︁ +5 при условии � ≥ � ⌊︁ 16 7 √ � ⌋︁ +5, где � = max(�, �).
Ключевые слова
В статье продолжены исследования по обобщению и уточнению результата Р. Т. Тур- ганалиева по выводу асимптотической формулы для среднего значения дзета-функции Римана в критической полосе с остаточным членом,имеющим степенное понижение. Нами найдена асимптотика среднего значения �-функции Дирихле в критической полосе, ко- торая уточняет теорему Р.Т.Турганалиева о дзета-функции при всех значениях действи- тельной части (1/2 < Re � ≤ 1). Этот результат получен за счет другого использования оценок тригонометрических сумм на основе второй производной в экспоненте.
Ключевые слова
В работе рассматривается задача построения распадающихся кривых степени 8 с сомно- жителями степеней 3 и 5. Для этого применяется модификация метода кусочного констру- ирования Виро, предложенная Штурмфельсом. Построены 29 попарно различных кривых.
Ключевые слова
Надежность увеличивает свою ценность в развитии механического и промышленного мира за счет включения механизма ремонта, доступности и возможности изготовления машин с различной рабочей мощностью в любых условиях. Настоящая статья представ- ляет собой инициативу, предпринятую с механической системой, работающей с единым сервером ремонта для различного характера отказов и услуг. Стратегия пассивной резерв- ной машины используется для поддержания надежности системы на удовлетворительном уровне. Процесс проверки включен для фильтрации машин в зависимости от их неис- правности или уровня ремонтных услуг. Вычисленные числовые и графические данные оказались полезными для выяснения поведения прибыли и надежности при увеличении / уменьшении скорости механизма ремонта и интенсивности отказов. Политика предпочте- ний была инициирована для регулярных сбоев или сбоев, требующих обычных затрат на обслуживание и периода времени, чем основные, чтобы избежать времени ожидания для обычного клиента.
Ключевые слова
Мультистабильные системы и их динамические свойства являются интересными тема- ми в нелинейной динамике. Небольшие различия в начальных условиях (например, из- за ошибок округления при численных вычислениях) приводят к принципиально разным результатам для таких динамических систем, что делает долгосрочное предсказание их поведения практически невозможным. Это происходит, даже если такие системы являют- ся детерминированными, то есть их будущее поведение полностью определяется выбором начальных условий без участия случайных элементов. Другими словами, детерминирован- ная природа этих систем не делает их предсказуемыми. Поведение решений динамической системы зависит как от выбора их начальных условий, так и от значений входящих в систему параметров. Сосуществование нескольких аттракторов, или мультистабильность, соответствует одновременному существованию более одного нетривиального аттрактора для одного и того же набора параметров системы. Это явление было обнаружено почти во всех естественных науках, включая электронику, оптику, биологию. В последние годы усилия многих исследователей были направлены на создание так называемых мегаста- бильных систем, то есть систем, которые при постоянных значениях входящих в них па- раметров имеют счетное число сосуществующих аттракторов. Интерес к подобным систе- мам обусловлен широким спектром их прикладного использования, например, для скры- тия информации в системах коммуникаций и аудиосхемах шифрования, биомедицинской инженерии, нечетком управлении. В статье предлагаются методы синтезирования мега- стабильных систем с использованием систем в форме Лурье. Мегастабильные системы, содержащие 1-D решетку хаотических аттракторов, удается получить, заменяя нелиней- ность в исходной системе на периодическую функцию. Путем замены на периодические функции некоторых переменных в исходной системе порядка n удается построить мегаста- бильную систему, содержащую �-D решетку хаотических аттракторов. В качестве одного из примеров в работе впервые построена система четвертого порядка с 4-D решеткой хао- тических аттракторов. Вычисляются показатели Ляпунова и размерность Каплана-Йорке аттракторов, принадлежащих решеткам.
Ключевые слова
Начиная с основополагающей заметки, опубликованной М. Сомосом в 1989 году, боль- шое внимание специалистов по теории чисел и смежных областей привлекают нелинейные последовательности, удовлетворяющие квадратичному рекуррентному соотношению. При этом особое внимание уделяется вопросам построения целочисленных последовательно- стей Сомоса и их лорановости относительно начальных значений и коэффициентов рекур- рентного соотношения. В фундаментальных работах Робинсона, Фомина и Зелевинского была доказана лорановость последовательности Сомос-� при � = 4, 5, 6, 7. В работах Хона были найдены представления для числовых последовательностей Сомос-4, 5 через сигма- функцию Вейерштрасса на эллиптических кривых, а при � = 6 — через значения сигма- функции Клейна на гиперэллиптических кривых рода 2. Следует также отметить, что по- следовательности Сомоса естественным образом возникают при построении криптосистем на эллиптических и гиперэллиптических кривых над конечным полем. Это объясняется тем, что для вышеупомянутых последовательностей выполняются теоремы сложения, и они естественным образом возникают при вычислении кратных точек на эллиптических и гиперэллиптических кривых. При � = 4, 5, 6, 7 последовательности Сомоса представляют собой полиномы Лорана от � начальных переменных и обычные полиномы от коэффици- ентов рекуррентного соотношения. Поэтому эти полиномы Лорана можно записать в виде несократимой дроби с обычным полиномом в числителе с начальными значениями и коэф- фициентами в качестве переменных. При этом знаменатель записывается в виде монома от начальных переменных. С помощью тропических функций мы доказываем, что степени переменных вышеупомянутого монома представляются в виде квадратичных полиномов от порядкового номера элемента последовательности Сомоса, у которых свободные члены представляют собой периодические последовательности рациональных чисел. При этом в каждом случае в явном виде указываются соответствующие полиномы и периоды их свободных членов.
Ключевые слова
Скрытые каналы позволяют передавать информацию с использованием механизмов, изначально не предназначенных для передачи. В качестве примера можно рассмотреть процесс, в рамках которого передатчик передвигает своего персонажа в многопользова- тельской игре, кодируя информацию движениями, а приемник считывает сообщение, от- слеживая перемещения. При этом в канале могут возникать ошибки, связанные с пропада- нием персонажа из области видимости приемника и потерей сетевых пакетов. Естествен- ным образом возникает задача организации надежного канала. В работе рассматривается формальная модель канала частичного стирания, описывающая процесс взаимодействия приемника и передатчика, вводится понятие корректности протокола передачи, форму- лируется и доказывается критериальное условие корректности протокола передатчика, а также строится оптимальное поведение приемника.
Ключевые слова
Активное распространение интернета в начале 21 века привело к объединению большо- го количества людей на единых интернет-платформах, на которых стало возможным непо- средственное взаимодействие пользователей и предпринимателей. Это послужило основой для возникновения нового способа привлечения финансирования в рискованные предпри- нимательские проекты и стартапы – краудфандинга. Постоянное совершенствование мето- дов анализа данных позволяет более эффективно изучать краудфандинг и его последствия для мировой и национальной экономической системы. Результаты о структуре проектов, которые организуются предпринимателями на краудфандинговой платформе Кикстартер (Kickstarter) для финансирования и реализации своих уникальных идей, позволяют более глубоко понять каким образом необходимо совершенствовать отрасль краудфандинга, что- бы обеспечивать наиболее эффективное развитие инновационной деятельности и малого и среднего бизнеса. В связи с этим возникает вопрос, каким образом можно проводить анализ краудфандинговых проектов. В этой статье на примере прикладного исследования данных о более чем 100 тыс. состоявшихся краудфандинговых проектов будет показано, как можно использовать один из статистических методов анализа взаимосвязей между переменными – факторный анализ.
Ключевые слова
Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые рассмотрена в рабо- тах В. Н. Эверитта и М. Гирца. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бой- матову, М.Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Нелинейный случай рассматривался в случае слабо- го возмущения линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных ра- ботах. Полученные результаты в данной работе также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного оператора Лапласа- Бельтрами в гильбертовом пространстве �2(��) �[�] = − 1 √︀ ����(�) Σ︁� �,�=1 � ��� [︂√︀ ����(�)�−1(�) �� ��� ]︂ + � (�, �)�(�), и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Ис- следуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, т.е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости изуча- лась разрешимость нелинейного уравнения Лапласа-Бельтрами в пространстве �2(��).
Ключевые слова
Пусть ��(M) означает решетку всех подквазимногообразий квазимногообразия M от- носительно включения. Существует глубокая взаимосвязь между свойствами решетки ��(M) и алгебраических систем из M. Впервые на этот факт обратил внимание А. И. Маль- цев в докладе на Международном конгрессе математиков в 1966 году в Москве. В данной работе получена характеризация класса всех дистрибутивных решеток, каж- дая из которых изоморфна решетке ��(M) всех подквазимногообразий некоторого ква- зимногообразия унаров M. Унаром называется алгебра с одной унарной операцией. Очевидно, что любой унар можно рассматривать как автомат с одним входным сигналом без выходных сигналов, либо – как полигон над циклической полугруппой. В работе построены частично упорядо- ченные множества �∞ и ��(� ∈ N0), где N0 означает множество всех неотрицательных це- лых чисел. Далее доказано, что дистрибутивная решетка � изоморфна решетке ��(M) для некоторого квазимногообразия унаров M тогда и только тогда, когда она изоморфна неко- торому главному идеалу одной из решеток �(��)(� ∈ N0) или ��(�∞), где �(��)(� ∈ N0) – решетка идеалов частично упорядоченного множества ��(� ∈ N0) и ��(�∞) – решетка идеалов с выделенным элементом � частично упорядоченного множества �∞. Доказательство основной теоремы существенно опирается на описание Q-критических унаров. Конечно порожденная алгебра называется Q-критической, если она не разлагает- ся в подпрямое произведение своих собственных подалгебр. Ранее было установлено, что каждое квазимногообразие унаров определяется своими Q-критическими унарами. Этот факт часто используется для исследования квазимногообразий унаров.
Ключевые слова
Подпрямо неразложимые универсальные алгебры, т.е. алгебры, неразложимые в нетри- виальное подпрямое произведение алгебр, играют в математике важную роль благодаря хорошо известной теореме Биркгофа, утверждающей, что любая алгебра является под- прямым произведением подпрямо неразлодимых алгебр (в другой терминологии: любая алгебра аппроксимируется подпрямо неразложимыми алгебрами). В связи с этим кажет- ся разумным исследовать классы алгебр с теми или иными ограничениями на подпрямо неразложимые алгебры. Одно из естественных ограничений – конечность всех подпрямо неразложимых алгебр. Более сильное ограничение: порядки подпрямо неразложимых ал- гебр ограничены в совокупности. Полигон над полугруппой (или автомат, или унарная алгебра) – множество, на кото- ром действует данная полугруппа. Полигоны над фиксированной полугруппой образуют многообразие, сигнатура которой совпадает с самой полугруппой. С другой стороны, это категория, морфизмы которой – гомоморфизмы одного полигона в другой. Нетрудно видеть, что полугруппы, над которыми все подпрямо неразложимые полиго- ны конечны, – это в точности полугруппы, над которыми все полигоны финитно аппрокси- мируемы (в другой терминологии: резидуально конечны). Более узкий класс – полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются полигонами, содержашими не более, чем � элементов, где � – фиксированное натуральное число. В 2000 г. И.Б.Кожуховым было доказано, что все нетривиальные полигоны над по- лугруппой � аппроксимируются двухэлементными в том и только том случае, если � – полурешётка (коммутативная полугруппа идемпотентов). В работе И.Б.Кожухова и А.Р.Халиуллиной 2014 года было доказано, что всякая полугруппа с ограниченными в со- вокупности порядками подпрямо неразложимых полигонов является равномерно локально конечной, т.е. для каждого � порядки �-порождённых подполугрупп ограничены в совокуп- ности. В работе И.Б.Кожухова и А.В.Царёва 2019 года были полностью описаны абелевы группы, над которыми все полигоны финитно аппроксимируемы, а также абелевы группы, над которыми все полигоны аппроксимируются конечными, порядки которых ограничены в совокупности. В настоящей работе характеризуются коммутативные полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются полигонами, состоящими из не более, чем � элементов.
Ключевые слова
Кольцом на абелевой группе � называется кольцо, аддитивная группа которого совпа- дает с �. Абелева группа � называется ��-группой, если любое ассоциативное кольцо на � является филиальным. Если любое кольцо (ассоциативное кольцо) на абелевой группе � является ��-кольцом (гамильтоновым кольцом), то � называется ��-группой (���- группой). В работе описаны ��-группы, ���-группы, ��-группы в классах почти вполне разложимых групп, сепарабельных групп без кручения и неизмеримых векторных групп. Кроме того, получено описание нередуцированных ��-групп, ���-групп и ��-групп, это сводит проблему исследования ��-групп к случаю редуцированных групп.
Ключевые слова
В статье "Проективная геометрия над частично упорядоченными телами, II"продолжа- ется исследование свойств частично упорядоченных линейных пространств над частично упорядоченными телами, начатое в части I «Проективная геометрия над частично упоря- доченными телами». Рассматриваются производные решетки, ассоциированных с частич- но упорядоченными линейными пространствами над частично упорядоченными телами. Более точно, исследуются свойства выпуклой проективной геометрии ℒ частично упоря- доченного линейного пространства � � над частично упорядоченным телом �. Под вы- пуклостью линейного подпространства в линейном пространстве � � понимается абелева выпуклость ( ��-выпуклость), опирающаяся на определение выпуклой подгруппы частич- но упорядоченной группы. Доказываются вторая и третья теоремы о порядковых изомор- физмах интерполяционных линейных пространств над частично упорядоченными телами. Получены некоторые результаты, касающиеся свойств главных линейных подпространств в интерполяционных линейных пространствах над направленными телами. Главным ли- нейным подпространством �� частично упорядоченного линейного пространства � � над частично упорядоченным телом � является наименьшее ��-выпуклое направленное линей- ное подпространство линейного пространства � � , содержащее данный положительный элемент � ∈ � . Для главных линейных подпространств в интерполяционных линейных пространствах над направленными телами доказан аналог третьей теоремы о порядковых изоморфизмах пространств.
Ключевые слова
С помощью интегральных билинейных функционалов, определенных на паре про- странств представления трехмерной лоренцовой группы или квадрате такого простран- ства, получены две формулы для функций Макдональда — частном случае цилиндриче- ских функции, широко используемом в математике и приложениях.
Ключевые слова
В статье проведено исследование возможности гомологического описания радикалов Джекобсона и локально нильпотентного для алгебр Ли, их связь с ��-неприводимо пред- ставленным радикалом, а также изучены некоторые свойства примитивных алгебр Ли. Доказывается аналог теоремы Ф. Кубо для почти локально разрешимых алгебр Ли с ну- левым радикалом Джекобсона. Показано, что радикал Джекобсона специальной почти локально разрешимой алгебра Ли � над полем � характеристики нуль равен нулю тогда и только тогда, когда алгебра Ли � имеет разложение Леви � = � ⊕ �(�), где �(�) – центр алгебры �, � – конечномерная подалгебра � такая, что �(�) = 0. Теорема Е. Мар- шалла обобщена на случай почти локально разрешимых алгебр Ли. Для произвольной специальной алгебры Ли � показано включение �����(�) ⊂ �(�), которое в общем слу- чае является строгим. Приведен пример алгебры Ли �, для которой выполнено строгое включение �(�) ⊂ �����(�). Показано, что для произвольной специальной алгебры Ли � над полем � характеристики нуль справедливо включение �(�) ⊂ �����(�), которое в общем случае является строгим. Показано, что большинство алгебр Ли над полем являют- ся примитивными. Приведен пример абелевой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем не являющейся примитивной. Приведены примеры, показывающие, что бесконеч- номерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; ко- нечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не является примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся примитивной. Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль ��-неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.
Ключевые слова
В этой статье мы начнем с обсуждения исторического общего вида нашего проекта, а затем попытаемся построить новую скобку Пуассона на нашем простейшем примере ��2, а затем попытаемся дать универсальную конструкцию на основе наших универсальных пе- ременных, а затем постараемся построить решеточные �2-алгебры, которые будут играть ключевую роль в других наших конструкциях на решетчатых �3-алгебрах, и, наконец, мы попытаемся найти единственный нетривиальный зависимый генератор наших решеточных �4-алгебр и т. д. для решетки ��-алгебры.
Ключевые слова
Рассматриваются частичные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. Вопрос о характеризации таких частичных алгебр может быть сведён к вопросу о характеризации частичных �-арных группоидов с тем же условием. В работе используется понятие умеренно частичной операции. Приводится характеристика умеренно частичных операций, сохраняющих любое отношение эквивалентности на задан- ном множестве. Пусть � – непустое множество, � – умеренно частичная операция, заданная на � (т.е. если зафиксировать все аргументы частичной операции �, кроме какого-то одного, то получится частичная операция �, у которой область определения dom � удовлетворяет условию |dom �| > 3), и любое отношение эквивалентности на множестве � стабильно от- носительно � (иначе говоря, решётка конгруэнций частичной алгебры (�, {�}) совпадает с решёткой отношений эквивалентности на множестве �). В работе доказано, что в таком случае � можно продолжить до некоторой полной операции �, также заданной на множе- стве �, которая тоже сохраняет любое отношение эквивалентности на �. Более того, если � – конечноарная частичная операция, то либо � – частичная константа (т.е. �(�) = �(�) для всех �, � ∈ dom �), либо � – частичная проекция (существует индекс � такой, что для любого кортежа � = (�1, ..., ��) ∈ dom � выполяется условие �(�1, ..., ��, ..., ��) = ��).
Ключевые слова
В статье представлены результаты и открытые проблемы, относящиеся к простран- ствам определимости (редуктам), а также источникам этой области, начиная с XIX ве- ка. Исследуются условия конечности и ограничения, в том числе глубина чередования кванторов и число аргументов. Описаны результаты, относящиеся к описанию решеток пространств определимости для числовых и других естественных структур. Методы ис- следования включают изучение групп автоморфизмов элементарных расширений рассмат- риваемых структур, использование теоремы Свенониуса.
Ключевые слова
В статье рассматриваются многомерные несобственные интегралы от функций, явля- ющихся произведением обобщенных многочленов в некоторых степенях. Такие интегралы встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. В частности, к ним относятся интегралы Фейнмана, возникающие при изучении различных объектов кван- товой теории поля. Точное вычисление этих интегралов является сложной и не всегда возможной задачей, поэтому определение условий их сходимости и получение их асимпто- тического разложения по одному из параметров представляет значительный практический интерес. Условия сходимости рассмотренных в работе интегралов ещё могут быть исполь- зованы, например, при исследовании кратных рядов, представляющих сумму значений рациональной функции в узлах целочисленной решетки. В статье рассмотрена задача, когда областью интегрирования является R� +, а обоб- щенные многочлены, входящие в подынтегральную функцию, либо положительны всюду, кроме нуля, либо имеют положительные коэффициенты. Описано множество сходимости этих интегралов и доказана равносильность условия сходимости условию на многогранни- ки Ньютона многочленов в подынтегральных функциях. Доказанный в работе критерий сходимости совпадает по формулировке с соответству- ющим результатом работ А. К. Циха и Т. О. Ермолаевой, но он получен другими методами и для немного более широкого множества подынтегральных функций. Доказательства утверждений в работе основаны на простейших свойствах выпуклых многогранников и базовых фактах из теории несобственных кратных интегралов.
Ключевые слова
Одной из основных проблем для полуабелевых �-групп является нахождение полуа- белевых �-групп, которые изоморфны �-группам гомоморфизмов из некоторых �-групп в полуабелеву �-группу. Такие �-группы найдены для бесконечных полуциклических �- групп. Известно, что множество ���(�,�) всех гомоморфизмов из �-группы ⟨�, �1⟩ в полу- абелеву (абелеву) �-группу ⟨�, �2⟩ с �-арной операцией �, заданной по правилу �(�1, . . . , ��)(�) = �2(�1(�), . . . , ��(�)), � ∈ �, образует полуабелеву (абелеву) �-группу. Доказано, что изоморфизмы �1 �-групп ⟨�, �1⟩ и ⟨�′, �′ 1 ⟩ и �2 полуабелевых �-групп ⟨�, �2⟩ и ⟨�′, �′ 2⟩ индуцируют изоморфизм � �- групп гомоморфизмов ⟨���(�,�), �⟩ и ⟨���(�′,�′), �′⟩, который действует по правилу � : � → �2 ∘ � ∘ �−1 1 . На аддитивной группе целых чисел � строим абелеву �-группу ⟨�, �1⟩ с �-арной опе- рацией �1(�1, . . . , ��) = �1 + . . . + �� + �, где � — любое целое число. На � строим также полуабелеву (не абелеву) �-группу ⟨�, �′ 1⟩ для � = 2� + 1, � ∈ �, с �-арной операцией �′ 1 (�1, . . . , ��) = �1 − �2 + . . . + �2�−1 − �2� + �2�+1. Известно, что любая бесконечная полу- циклическая �-группа изоморфна �-группе ⟨�, �1⟩, где 0 ≤ � ≤ [�−1 2 ], либо �-группе ⟨�, �′ 1⟩ для нечетных �. В первом случае будем говорить, что такая �-группа имеет тип (∞, 1, �), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0). При изучении �-группы гомоморфизмов ⟨���(�,�), �⟩ из бесконечной абелевой по- луциклической �-группы ⟨�, �1⟩ (0 ≤ � ≤ �−1 2 ) в полуабелеву �-группу ⟨�, �2⟩ строим на �-группе ⟨�, �2⟩ абелеву группу � с операцией сложение �+� = �2(�, (�−3) � , ¯�, �), в которой имеются элемент �2 = �2( (�) � ) и автоморфизм �2(�) = �2(�, �, (�−3) � , ¯�). Выбираем множе- ство �1 таких упорядоченных пар (�, �) элементов из �, которые удовлетворяют равенству �� = �2+ ∼ �2(�), где ∼ �2(�) = �+�2(�)+. . .+��−2 2 (�), � ∈ � — эндоморфизм группы �, а для первой компоненты этих пар верно равенство �2(�) = �. На этом множестве определим �-арную операцию ℎ1 по правилу ℎ1((�1, �1), . . . , (��, ��)) = (�1 + . . . + ��, �2(�1, . . . , ��)). Доказано, что ⟨�1, ℎ1⟩ — полуабелева �-группа, которая изоморфна �-группе гомоморфиз- мов из бесконечной абелевой полуциклической �-группы ⟨�, �1⟩ (0 ≤ � ≤ �−1 2 ) в �-группу ⟨�, �2⟩. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм �-группы ⟨�1, ℎ1⟩ и �-группы гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической �-группы типа (∞, 1, �) в полу- абелеву �-группу ⟨�, �2⟩. При изучении �-группы гомоморфизмов ⟨���(�,�), �⟩ из бесконечной полуцикличе- ской �-группы ⟨�, �′ 1⟩ в полуабелеву �-группу ⟨�, �2⟩ в абелевой группе � выбираем под- группу � = {� ∈ � | �2(�) = −�}. На � определим полуабелеву �-группу ⟨�, ℎ⟩, где ℎ действует по правилу ℎ(�1, �2, . . . , ��−1, ��) = �1 + �2(�2) + . . . + ��−2 2 (��−1) + ��. Затем в �-группе ⟨�, �2⟩ выбираем подгруппу ⟨�, �2⟩ всех идемпотентов, если � ̸= ∅. Доказано, что для нечетного числа � > 1 декартово произведение полуабелевых �-групп ⟨�, ℎ⟩ × ⟨�, �2⟩ изоморфно �-группе гомоморфизмов из бесконечной полуциклической �-группы ⟨�, �′ 1 ⟩ в полуабелеву �-группу ⟨�, �2⟩ с не пустым множеством идемпотентов �. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм �-группы ⟨�, ℎ⟩ × ⟨�, �2⟩ и �-группы гомоморфизмов из бесконечной полуциклической �-группы типа (∞,−1, 0) в полуабелеву �-группу ⟨�, �2⟩. Аналогичные факты получены при изучении �-группы гомоморфизмов ⟨���(�,�), �⟩ из �-групп ⟨�, �1⟩ и ⟨�, �′ 1⟩ в абелеву �-группу ⟨�, �2⟩.
Ключевые слова
Одной из основных проблем для полуабелевых �-групп является нахождение (�, 2)- почтиколец, которые изоморфны (�, 2)-почтикольцам эндоморфизмов некоторых полуабе- левых �-групп. Такие (�, 2)-почтикольца найдены для полуциклических �-групп. На аддитивной группе целых чисел � строим абелеву �-группу ⟨�, �1⟩ с �-арной опе- рацией �1(�1, . . . , ��) = �1 +. . .+�� +�, где � — любое целое число. Для не тождественного автоморфизма �(�) = −� на � можно задать полуабелеву �-группу ⟨�, �2⟩ для � = 2� +1, � ∈ �, с �-арной операцией �2(�1, . . . , ��) = �1 − �2 + . . . + �2�−1 − �2� + �2�+1. Любая бесконечная полуциклическая �-группа изоморфна �-группе ⟨�, �1⟩, где 0 ≤ � ≤ [�−1 2 ], ли- бо �-группе ⟨�, �2⟩ для нечетных �. В первом случае будем говорить, что такая �-группа имеет тип (∞, 1, �), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0). В � выделим множество � = {�|�� ≡ � (mod � − 1)} и на нем определим �-арную операцию ℎ по правилу ℎ(�1, . . . ,��) = �1 + . . . + ��. Тогда алгебра ⟨�, ℎ, ·⟩, где · — умножение целых чисел, будет (�, 2)-кольцом. Доказано, что ⟨�, ℎ, ·⟩ изоморфно (�, 2)- кольцу эндоморфизмов полуциклической �-группы типа (∞, 1, �). В �-группе ⟨� × �, ℎ⟩ = ⟨�, �2⟩ × ⟨�, �2⟩ определим бинарную операцию ◇ по правилу (�1, �1) ◇ (�2, �2) = (�1�2,�1�2 + �1). Тогда ⟨� × �, ℎ, ◇⟩ будет (�, 2)-почтикольцом. До- казано, что ⟨� × �, ℎ, ◇⟩ изоморфно (�, 2)-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической �-группы типа (∞,−1, 0). Доказано, что (�, 2)-кольцо ⟨�, �, *⟩, где �(�1, . . . , ��) = �1 + . . . + �� + 1 и �1 * �2 = = �1�2(�−1)+�1 +�2, изоморфно (�, 2)-кольцу эндоморфизмов бесконечной циклической �-группы. На аддитивной группе кольца классов вычетов �� определим �-группу ⟨��, �3⟩, где �- арная операция �3 действует по правилу �3(�1, . . . , ��) = �1 +��2 +. . .+��−2��−1 +�� +�, 1 ≤ � < � и � взаимно прост с �. Кроме того, � удовлетворяет сравнению �� ≡ � (mod �) и показатель числа � по модулю � делит �−1. Любая конечная полуциклическая �-группа порядка � изоморфна �-группе ⟨��, �3⟩, где � | НОД (� − 1, �) при � = 1 и � | НОД (��−1−1 �−1 , �) при � ̸= 1. Будем говорить, что такая �-группа имеет тип (�, �, �). В �-группе ⟨�, ℎ⟩ = ⟨��, �3⟩×⟨��, �4⟩, где �4(�1, . . . , ��) = �1 +��2 +. . .+��−2��−1 +��, � — остаток от деления � на �, определим бинарную операцию ◇ по правилу (�1, �1) ◇ (�2, �2) = (�2�1 + �1, �2�1 + �1) где �1 ∈ �� и �1−1 = �0+�1 � � , где �0 — решение сравнения � ≡ (�−1)�1 � (mod � � ) при � = 1 и � ≡ ��−1−1 �−1 �1 � (mod � � ) при � ̸= 1. Доказано, что алгебра ⟨�, ℎ, ◇⟩ будет (�, 2)-кольцом при � = 1 и (�, 2)-почтикольцом при � ̸= 1, которое изоморфно (�, 2)-кольцу эндомор- физмов абелевой полуциклической �-группы типа (�, 1, �) при � = 1 и (�, 2)-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической �-группы типа (�, �, �) при � ̸= 1. Доказано, что (�, 2)-кольцо ⟨��, �, *⟩, где �(�1, . . . , ��) = �1 + . . . + �� + 1 и �1 * �2 = = �1 · �2 · (�−1)+�1 +�2, изоморфно (�, 2)-кольцу эндоморфизмов конечной циклической �-группы порядка �.
Ключевые слова
В работе предлагается развитие математического вариационного метода Хашина- Штрикмана, который применялся ранее для определения вилки возможных значений эф- фективных упругих характеристик. В этом случае определяются эффективные характе- ристики пластичности двухкомпонентных композитов. В частности, определена вилка воз- можных значений эффективного предела текучести таких композиционных материалов.
Ключевые слова
В работе приведены результаты исследования процесса трения скольжения пористого материала на основе железа, пропитанного смазочным маслом с дисперсными частицами фторированного графена. Установлено, что закономерности кинетики внешнего трения скольжения имеют сигмоидальный и сигмоидально-линейный характер. Получены экспе- риментальные результаты, показывающие, что с увеличением концентрации агрегатов из чешуек фторированного графена в смазочном масле средняя сила и коэффициент трения снижаются, при этом наблюдается хороший антифрикционный эффект.
Ключевые слова
В работе приведены результаты исследования процессов трения скольжения пористо- го материала на основе меди, пропитанного смазочным маслом с дисперсными частицами фторированного графена. Установлены математические закономерности изменения харак- теристик фрикционного взаимодействия. Показано, что закономерности изменения сред- ней силы трения имеют сигмоидально-ступенчатый характер. Получены эксперименталь- ные результаты, показывающие, что с увеличением концентрации агрегатов из чешуек фторированного графена в смазочном масле средняя сила трения и коэффициент тре- ния снижаются, при этом наблюдается хороший антифрикционный эффект. Показано, что средняя работа силы трения, а соответственно и энергетические потери на трение, при добавлении в смазочное масло 0,01% агрегатов из чешуек фторированного графена уменьшается на 3721 Дж, а при добавлении 0,1% — на 4098 Дж. Установлено, что сред- ний коэффициент трения при добавлении в смазочное масло 0,01% агрегатов из чешуек фторированного графена уменьшается на 27%, а при добавлении 0,1% — на 30%.
Ключевые слова
Жизнь и творчество выдающегося русского математика Николая Николаевича Лузи- на (1883 – 1950) пришлись на очень сложный период российской истории: две мировые войны, революции 1917 г. , гражданская война, строительство государства нового типа – Союза Советских Социалистических Республик, сопровождавшееся массовым террором, затронувшим все без исключения слои советского общества. На фоне этих драматических событий происходил процесс становления и расцвета Лузина-учёного, создателя одной из ведущих математических школ ХХ столетия – Московской школы теории функций, став- шей одним из краеугольных камней в фундаменте Советской математической школы. В творчестве Лузина выделяются два периода – первый, посвящённый проблемам метриче- ской теории функций, завершившийся его знаменитой диссертацией «Интеграл и триго- нометрический ряд» (1915), и второй, посвящённый преимущественно разработке проблем теории аналитических множеств. В подтексте лузинских исследований стояла проблема структуры арифметического континуума, ставшая сверхзадачей его творчества.
Ключевые слова
В статье исследуются причины, по которым «математические спецшколы» («матшко- лы») в одной из своих устойчиво воспроизводимых моделей стали важнейшим и очень про- дуктивным явлением в российском образовании последних десятилетий. Дается краткое описание современной модели результативного образования, восходящего к сложившейся традиции преподавания в матшколах. Анализируются условия построения воспроизводи- мой модели результативного образования не только для специализированного обучения математике, но и для других областей российского общего образования. Описываются источники традиции матшкол: практическая ориентация традиционной школы, занима- тельная математика, математические кружки и олимпиады. Указываются также истоки результативного образования в уровневой дифференциации.
Ключевые слова
Описывается история развития топологического образования в Нижнем Новгороде – от первой лекции по топологии для школьников, прочитанной в 1939 г. профессором А.Г. Майером, до наcтоящего времени. Необходимость знания топологии для дальнейших ис- следований первыми в Нижнем Новгороде поняли представители школы академика А.А. Андронова по теории нелинейных колебаний и качественной теории дифференциальных уравнений. Важным моментом была организованная С.И. Альбером в 1964 г. Горьковская топологическая школа, в которой приняли участие многие выдающиеся математики (Д.В. Аносов, М.Л. Громов, С.П. Новиков, Я.Г. Синай и др.) Однако «мотором» внедрения то- пологии в учебный процесс стал специалист по вещественной алгебраической геометрии профессор Д.А. Гудков. Эта его деятельность проходила в тесном сотрудничестве с ленин- градским профессором В.А. Рохлиным и его учениками О.Я. Виро и В.М. Харламовым.
Ключевые слова
В статье рассматривается задача дифракции цилиндрических монохроматических зву- ковых волн на однородном упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покры- тием. Полагается, что тело находится в безграничном пространстве, заполненном идеаль- ной жидкостью. Получено аналитическое решение задачи. Волновые поля в содержащей среде и однородном упругом цилиндре находятся в виде разложений по волновым цилиндрическим функциям, а для нахождения поля смещения в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных диффе- ренциальных уравнений второго порядка. Проведены численные расчеты угловых и частотных характеристик рассеянного по- ля для упругих цилиндров с однородными и неоднородными покрытиями. Выявлено су- щественное влияние непрерывно-неоднородных упругих покрытий на звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел.
Ключевые слова
Приводятся основные уравнения и определяющие соотношения, определяющие напря- женно-деформированное пластическое состояние металлических материалов с учетом их физико-структурных параметров. Подход к формулировке определяющих соотношений основывается на включении в число критериальных, наряду с традиционными макроме- ханическими, физико-структурных параметров. К ним относится, в первую очередь, па- раметр повреждаемости материала дефектами деформационного происхождения. На ос- нове экспериментов установлена связь между напряжением, необходимым для движения заблокированной дислокации, и мерой повреждаемости деформационными микродефек- тами, необходимая для определения предела текучести и, далее, эволюции поверхности нагружения с учетом влияющих на нее факторов. Проведенные опыты по двухэтапному растяжению образцов из сплава AlMg3 показали существенное влияние деформационной повреждаемости на напряженное состояние.
Ключевые слова
Пусть �(�) – многочлен, коэффициент при старшей степени которого иррациональное число. Пусть слово � (� = (��), � ∈ N) состоит из последовательности первых двоичных цифр {�(�)} т.е. �� = [2{�(�)}]. Обозначим через �(�) число различных подслов длины � слова �. Основной результат данной работы заключается в следующем: Теорема. Существует многочлен �(�), зависящий только от степени многочлена �, такой, что при достаточно больших � выполнено равенство �(�) = �(�).
Ключевые слова
В статье излагается подход к построению формальной модели информационной без- опасности, основанный на использовании алгебры предикатов. Модель представляется в виде дерева решений. Разработан и исследован алгоритм его построения, основанный на использовании дедуктивного метода поиска ответов.
Ключевые слова
Подгруппа � группы � называется tcc-подгруппой в �, если существует подгруппа � группы � такая, что � = �� и для любого � 6 � и � 6 � существует элемент � ∈ ⟨�, � ⟩ такой, что �� � ≤ �. Запись � 6 � означает, что � является подгруппой группы �. В этой статье мы исследуем группу � = �� при условии, что � и � являются tcc-подгруппами в �. Доказано, что такая группа � принадлежит F, если подгруппы � и � принадлежат F, где F — насыщенная формация такая, что U ⊆ F. Здесь U — формация всех сверхразрешимых групп.
Ключевые слова
35 лет назад в школах Советского Союза появился новый предмет информатика. Се- годня считается, что это было знаковым событием, которое впоследствии изменило всю систему образования. Но путь его в школу был непростым и достаточно длительным. Проведен анализ, какие науки сформировали методологическую основу информатики, ка- кие концепции определили ее содержание, и кто из ученых стоял у ее истоков. Рассмот- рено, какие факторы оказали влияние на содержание первого учебника информатики и последующих, как зарождалась отечественная информатизация образования, как созда- валась новая педагогическая специальность «учитель информатики». Отмечено, труды каких ученых, авторских и научных коллективов легли в основу современной теории и ме- тодики обучения информатики и информатизации образования. Показано, как менялось содержание предмета, какие факторы оказывали влияние, а также, какие проблемы стоят перед школьной информатикой и в каком направлении произойдет ее трансформация в ближайшем будущем.
Ключевые слова
В основу данной статьи лёг доклад, сделанный В. Н. Чубариковым на Международ- ной научно-практической конференции «Информатизация образования — 2020» в городе Орле, 26–30 октября, 2020 года. Конференция была посвящена 115-летию со дня рожде- ния патриарха российского образования, великого педагога и математика, академика РАН С. М. Никольского (1905-2012 гг.). Мероприятие проведено Академией Информатизации образования и Орловским государственным университетом им. И. С. Тургенева при фи- нансовой поддержке РФФИ. В статье рассмотрены разные аспекты информатизации общества прежде всего с точки зрения математиков и ученых, связанных с различными направлениями использования достижений компьютерной техники и компьютерных технологий. В краткой форме обсуждены следующие вопросы: 1. Программирование — основа ин- форматики; 2. Модели вычислительных систем, компьютеры, языки программирования; 3. Системы искусственного интеллекта; 4. Что такое TeX и LaTeX? 5. Сложность вычис- лений; 6. Поиск литературы по информатике; 7. Научная школа Альберта Рубеновича Есаяна и информатика в ТГПУ им. Л. Н. Толстого. Статья посвящена памяти выдающегося математика и педагога, профессора Альбер- та Рубеновича Есаяна. 50 лет его работы в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого были посвящены внедрению в педагогический процесс подготовки учителей математики и информатики передовых подходов в области препода- вания математики. Он внёс существенный вклад в разработку практических подходов в преподавании информатики в педагогических вузах.